DIVISIBILITAT

1.- Relació de divisibilitat: múltiples i divisors. Dos nombres estan emparentats per la relació de divisibilitat quan el quocient entre el major i el menor és exacte. 

• El major és múltiple del menor.

• El menor és divisor del major. Ex:     24 : 3 =8

• El 24 i el 3 estan emparentats per la relació de divisibilitat,

• El 24 es el múltiple i el 3 es divisor

Com que resulta que el 24 també es podrà dividir per el 8, el 8 també és divisor del 24

 

2.- Múltiples d’un nombre: per cercar els múltiples d’un número es va multiplicant aquest nº per 0, 1, 2, ... Els múltiples són indefinits.

• El 0 és múltiple de tots els números.

• Tot nombre és múltiple de si mateix i de la unitat.

• Un nombre és múltiple d’un altre si a l’efectuar la divisió, aquesta és exacta.

• Un nombre, diferent de zero, té infinits múltiples. Tot nombre és múltiple de si mateix i de la unitat. Ex: 3= 0, 3, 6, 9, 12,

 

Aixi els múltiples de 7 son:  7 x 1=7, 7 x 2 =14,  7 x 3 =21, 7 x 4=28, 7 x 5 =35, 7 x 6=42, 7 x 7=49, 7 x 8=56, 7 x 9=63, 7 x 10=70, 7 x 11=77 ......

 

3.- Divisors d’un nombre: per cercar els divisors d’un número és va dividint aquest número per 1, 2, ... fins que el quocient sigui igual o més petit que el divisor.

• De les divisions exactes s’agafen els divisors i els quocients.

• Tot nombre és divisor de si mateix.

• L'1 és divisor de qualsevol nombre.

• Per saber si un nº és divisor d’un altre a l’efectuar la divisió ha de ser exacta.

Ex: Div 12= 1, 2, 3, 4, 6, 12               Div 15= 1,3,5,15

 

   12  / 1          12/2       12 /3      12 / 4      15  / 1       15  /2    15 / 3    15 / 4     15  / 5

   02   12          0  6         0  4         0   3       05  15         1    7     0   5        3   3         0   5

     0

 

 4.-  Nombres primers i compostos.
• Els nombres primers són els que només tenen dos divisors l'1 i el mateix.

Ex: El 11 és un nombre primer, ja que no més es pot dividir per 1  i per 11

• Els nombres compostos són els que tenen més de dos divisors.

Ex: El 8 és un nombre compost ja que es pot dividir per: 1, 2, 4, 8

• L'1 només té un divisor, és un cas especial.

               

5.-   Criteris de divisibilitat: els criteris de divisibilitat són regles senzilles que ens permeten saber si un nombre és divisible per un altre sense la necessitat de fer la divisió

Els principals criteris de divisibilitat són els de 2, 3, 5 i 10.

• Un nombre és divisible per 2 (o múltiple de 2) si la seva última xifra és zero o nombre parell.

• Un nombre és divisible per 3 (o múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

• Un nombre és divisible 5 (o múltiple de 5) si la seva última xifra és 0 o 5.

• Un nombre és divisible 10 (o múltiple de 10) si la seva última xifra és 0.

 

6.-  Descomposició d'un nombre en factors primers: per descompondre un nombre en producte de factors primers el dividim entre els nombres primers seguint un ordre: entre 2 tantes vegades com es pugui, entre 3 igualment tantes vegades com es pugui, entre 5, entre 7, entre 11 ... fins a obtenir com a quocient la unitat.

 

7.-  Mínim comú múltiple: el mínim comú múltiple de dos o més nombres és el menor dels seus múltiples comuns. Per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres:

1r  Es descomponen els nombres com a producte de factors primers.
2n  Escollim els factors primers comuns i no comuns, elevats al major exponent.
3r  El seu producte és el m.c.m. dels nombres.

 

8.-  Màxim comú divisor: el màxim comú divisor de dos o més nombres és el major dels seus divisors comuns. Per calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres:

1r Es descomponen els nombres com a producte dels seus factors primers.
2n Escollim els factors primers comuns elevats al menor exponent.
3r  El seu producte és el m.c.d. dels nombres.

 

 

QUADRE RESUM CRITERIS DE DIVISIBILITAT

 

• Divisibilitat per 2: qualsevol nombre parell (els que acaben en 0, 2, 4, 6 o 8).
                                       Ex: 48, 234, 960, etc 

• Divisibilitat per 3: quan la suma de les xifres del nombre (fins a arribar a una de sola) és 3, 6 o 9.         Ex:    132 ==> 1+3+2 = 6 
                              3729 ==> 3+7+2+9 = 21 ==> 2+1 = 3 
                             56745 ==> 5+6+7+4+5 = 27 ==> 2+7 = 9

• Divisibilitat per 4: quan les dues darreres xifres del nombres són dos zeros o un múltiple de 4.           Ex: 7824, 9800, etc

• Divisibilitat per 5: qualsevol nombre que acabi en 0 o en 5.
                      Ex: 270, 4895, etc 

• Divisibilitat per 6: qualsevol nombre que sigui divisible per 2 i per 3 a la vegada.

• Divisibilitat per 7: encara que els mètodes són més llargs que fer la divisió expliquem un amb el nombre 41181.

  1. Es treu la darrera xifra del nombre, es duplica i es resta del nombre que volem observar:  4118 - 2·1 = 4118 - 2 = 4116

  2. Es va repetint el procés fins acabar amb una sola xifra. En aquest cas:
                    411 - 12 = 399
                    39 - 18 = 21 
                    2 - 2 = 0

  3. Si s'acaba en 0 o en 7 el nombre és divisible per 7.

 

• Divisibilitat per 8: qualsevol nombre que acabi en tres zeros o que les seves tres últimes xifres siguin un múltiple de 8.
                   Ex: 3416, 5000, etc.

• Divisibilitat per 9: qualsevol nombre que la suma de les seves xifres fins a arribar-ne a una de sola doni 9.
                  Ex: 457011 ==> 4+5+7+0+1+1 = 18 ==> 1+8 = 9

• Divisibilitat per 10: qualsevol nombre que acabi en 0.

• Divisibilitat per 11: començant per la xifra més a la dreta i anant cap a l'esquerra anirem restant i sumant alternativament les xifres. Si el resultat final és zero o un múltiple d'11, el nombre original també ho serà. Si no sabem si el resultat és múltiple d'11 podem repetir el procés. És possible que durant el càlcul s'obtinguin números negatius.
                  Ex: per saber si 50358 és múltiple d'11 fem l'operació 8-5+3-0+5 = 11

• Divisibilitat per 12: qualsevol nombre que sigui divisible per 3 i per 4 a la vegada

• Divisibilitat per 15: si ho és a la vegada de 3 i 5.

           Ex: 56.970 (acaba en 0 i 5+6+9+7=27=2+7=9), ...